문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 오일러 방정식 (문단 편집) === 유도 1 === 밀도가 [math(\displaystyle \rho)]인 유체가 중력장 [math(\displaystyle \mathbf{g})] 내에서 유체 사이의 압력이 [math(\displaystyle P)]로 주어진 상황을 생각해보자. 어떤 폐곡면 [math(\mathbf{S})]로 둘러싸인 영역 [math(\mathbf{V})] 내에 있는 유체가 갖는 운동량의 변화는 ||\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_\mathbf{V} \rho\mathbf{u} d^3 r = - \oint_\mathbf{S} \mathbf{u}(\rho\mathbf{u} \cdot d\mathbf{a}) - \oint_\mathbf{S} P d\mathbf{a} + \int_\mathbf{V}\rho\mathbf{g} d^3 r|| 와 같은 방정식으로 표현된다. 여기서 좌변은 영역 [math(\mathbf{V})] 내에 있는 유체의 단위 시간당 운동량의 변화량을 뜻하고 우변의 첫째항, 둘째항, 셋째항은 각각 단위 시간당 경계면 [math(\mathbf{S})]를 통해 유입되는 유체가 갖는 운동량, 압력에 의해 영역 [math(\mathbf{V})] 내의 유체가 받는 힘, 영역 [math(\mathbf{V})] 내에 있는 유체가 받는 중력을 의미한다. 위 방정식에 [[발산 정리]]를 적용하면 ||\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(\rho\mathbf{u}) = -\mathbf{e}_{i} \nabla \cdot [u_{i} (\rho \mathbf{u})] - \nabla P + \rho \mathbf{g}|| 와 같이 정리된다. 이 방정식의 우변의 첫째항을 이항하여 정리하면 다음과 같이 오일러 방정식(Euler equation)이 유도된다. (참고: [[질량]]에 대한 [[연속 방정식]]) ||\displaystyle \rho \frac{D \mathbf{u}}{Dt}=-\nabla P+\rho \mathbf{g} || 여기서 [math(\displaystyle\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla)=\frac{\partial}{\partial t}+u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}})]는 물질 도함수(material derivative)라 불린다. homentropic process(단위 질량당 [[엔트로피]]가 공간에 걸쳐 균일)을 가정하면 [math(w)]를 단위 질량당 [[엔탈피]](enthalpy)라 할 때 [[열역학]]에 따르면 [math(\displaystyle \frac{dP}{\rho} = dw)]라 표현할 수 있는 것이 알려져 있다. 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다. ||\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} = -\nabla w + \mathbf{g} [* 표기법은 나비에-스톡스 방정식 항목의 식과 동일하다] || 한편, 이 식이 다루는 대상이 '비점성'이라고 했는데, 이제 여기 좌변에다가 점성항 [math(- \nu \nabla^2 \mathbf{u})]를 얹어주면 바로 [[나비에-스톡스 방정식]]이 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기